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数学家重新放弃了对黎曼假设的放弃方法

发布时间:2019-05-28 10:51:42 来源:

在过去的150年里,人们提出了许多接近黎曼假设的方法,但没有一种方法可以解决数学中最着名的开放性问题。“美国国家科学院院刊”(PNAS)的一篇新论文表明,这些旧方法中的一种比以前认识到的更为实用。

“在一个令人惊讶的简短证据中,我们已经证明了对黎曼假设的旧的,废弃的方法不应该被遗忘,”埃默里大学的一些理论家,该论文的共同作者Ken Ono说。“通过简单地为旧方法制定适当的框架,我们已经证明了一些新的定理,包括一大块标准,暗示了黎曼假设。我们的总体框架也开启了其他基本未解决问题的方法。”

本文以John Jensen和GeorgePólya的作品为基础,他们是20世纪最重要的两位数学家。它揭示了一种计算Jensen-Pólya多项式的方法 - 一种黎曼假设的公式 - 不是一次一个,而是一次完成。

“我们证明的美妙之处在于其简洁性,”Ono说。“我们没有发明任何新技术或在数学中使用任何新对象,但我们提供了黎曼假设的新观点。任何相当先进的数学家都可以检验我们的证明。它不需要数论专家。”

尽管该论文未能证明黎曼假设,但其后果包括先前已公开的断言,其已知从黎曼假设中得出,以及其他领域猜想的一些证明。

该论文的共同作者是迈克尔格里芬和拉里罗伦 - 两位Ono的前埃默里研究生,他们分别是杨百翰大学和范德比尔特大学的教师,以及马克斯普朗克数学研究所的Don Zagier。

“这里建立的结果可能被视为为黎曼假设提供进一步的证据,无论如何,它是一个漂亮的独立定理,”斯坦福大学数学家,黎曼假设专家Kannan Soundararajan说。

这篇论文的想法是两年前由一个“玩具问题”引发的,Ono在庆祝他65岁生日的数学会议期间作为“礼物”招待Zagier。玩具问题是数学家试图解决的更大,更复杂问题的缩小版本。

扎吉尔描述了Ono给他的那个“关于某些多项式的渐近行为的可爱问题,这些多项式涉及欧拉的分割函数,这是我和我的老爱 - 以及几乎任何经典数字理论家。”

“我发现这个问题难以解决,我并没有真正期望唐能够随处获得它,”小野回忆道。“但他认为挑战非常有趣,很快他就制定了一个解决方案。”

Ono的预感是,这样的解决方案可以被制作成更一般的理论。这就是数学家最终取得的成就。

“这是一个有趣的项目,一个非常有创意的过程,”格里芬说。“在研究水平上的数学通常更多的是艺术而不是计算,这在这里肯定是这样的。它要求我们以一种新的方式看待近百年来对Jensen和Pólya的想法。”

黎曼假设是七个千年奖问题之一,由克莱数学研究所确定为数学中最重要的开放性问题。每个问题都为其求解者带来了100万美元的赏金。

该假设于1859年由德国数学家Bernhard Riemann撰写。他注意到素数的分布与分析函数的零点密切相关,后者被称为黎曼zeta函数。在数学术语中,黎曼假设是断言Zeta函数的所有非平凡零都具有实部1/2。

“他的假设是满口的,但黎曼的动机很简单,”小野说。“他想算出素数。”

该假设是理解数论中最重要的奥秘之一的工具 - 素数的基本模式。虽然素数是在基本数学中定义的简单对象(任何大于1的数字,除了1和它本身之外没有正除数),它们的分布仍然是隐藏的。

第一个素数,2,是唯一的偶数。下一个素数是3,但素数不遵循每三个数字的模式。接下来是5,然后是7,然后是11.当你继续向上计数时,素数会迅速变得不那么频繁。

“众所周知,有无数的素数,但它们变得罕见,即使你到了100年代,”Ono解释说。“事实上,在前100,000个数字中,只有9,592个是素数,或大约9.5%。而且它们很快就会变得罕见。随机选择数字并将其作为素数的概率为零。几乎不会发生这种情况。 “。

1927年,Jensen和Pólya制定了确认黎曼假设的标准,作为释放其阐明素数和其他数学奥秘的潜力的一步。标准的问题 - 建立Jensen-Pólya多项式的双曲性 - 是无限的。在过去的90年中,只有少数序列中的多项式得到验证,导致数学家放弃这种方法太慢而且笨拙。

对于PNAS论文,作者设计了一个概念框架,它按度数组合多项式。这种方法使他们能够在100%的时间内确认每个学位的标准,使之前已知的少数病例黯然失色。

“这种方法具有令人震惊的普遍意识,因为它适用于看似无关的问题,”罗伦说。“与此同时,它的证明很容易理解和掌握。数学中一些最美丽的见解是需要很长时间才能实现的,但一旦你看到它们,它们就显得简单明了。”

尽管他们的工作,结果并不排除黎曼假设是错误的可能性,作者认为,有关着名猜想的完整证据仍然遥远。

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